September 28th, 2012

Задача по терверу

Вероятность, что шар черный, равна p. Какова вероятность, что в урне хотя бы половина шаров черная? А если урна очень большая? Нужны закрытые формулы.

UPD: Эта задача любопытна контринтуитивным расположением дискретного и непрерывного ответа.

\sum\limits_{k=\lceil \frac{n}{2} \rceil}^n \binom{n}{k}\, p^k (1-p)^{n-k} = I_p(\lceil \frac{n}{2} \rceil, \lfloor \frac{n}{2} \rfloor + 1) = \frac{ \int\limits_0^p{t^{\lceil \frac{n}{2} \rceil - 1} (1-t)^{\lfloor \frac{n}{2} \rfloor} \, dt} }{ \int\limits_0^1{t^{\lceil \frac{n}{2} \rceil - 1} (1-t)^{\lfloor \frac{n}{2} \rfloor} \, dt} }
где I — регуляризованная неполная бета-функция (boost::math::ibeta).

При n → ∞ удобнее воспользоваться ЦПТ, которая пророчит нормальное распределение вокруг pn с дисперсией n(p-p2). Колокол нормального распределения с увеличением n будет сужаться и в бесконечности будет полностью находиться с одной из сторон. Для p = 1/2 из симметрии ответ, очевидно, будет 1/2. Таким образом, если урна очень большая, ответ \frac{\mathrm{sgn}\,(p - \frac12) + 1}{2}

Ближе всех к развернутому ответу были ilyaraz и darth_vasya.