sharpc (sharpc) wrote,
sharpc
sharpc

Categories:
  • Music:

Тест по математике: разбор, часть 1

Часть 1/2, часть 2/2 в http://sharpc.livejournal.com/26120.html

Вывод, который можно сделать из статистики: да, все таки простые люди знают математику. Правда, немного настораживает, что большая часть этих простых людей — студенты и аспиранты математических факультетов МГУ и СПбГУ.


Всего зарегистрировалось на тест 1460 человек, отправило ответ на первый вопрос 1064, полностью прошли 365 человек, из них 52 получили результат «отлично», а 9 «великолепно». Из указавших свой вуз обладателей «отличного» балла 26 человек из МГУ, 8 из СПбГУ, 3 из БГУ, 2 из КПИ, по одному из УрГУ, НМУ, СПбГПУ. «Великолепно» получили:
34 балла
an, СПбГУ

32 балла
mahalex, СПбГУ, аспирант
nik, МГУ-4

31 балла
philip_pv, БГУ-2
Ыыыы, МГУ, аспирант
Саша Рыбак, КПИ-6

30 балла
ihh, МГУ, обладатель научной степени
deja_vecu, МГУ-2
rus4, СПбГУ, обладатель научной степени

Указали свой пол 712 m и 200 f, а среди «отличников» 34 m и 3 f.

Вот картинка, иллюстрирующая количество людей, попытавшихся дать ответ на вопрос: серым выделено число пропустивших его, красным — ошибившихся, зеленым — преуспевших:


Все отправленные варианты ответов и количество людей, давших такой ответ, можно посмотреть по адресу http://researcher.net78.net/math/popular_answers.htm. Любопытно, что сакральное слово из трех букв фигурировало лишь в одном ответе к задаче №36.




1. На какие числа делится число 9184923?
[ ] на 2
[x] на 3
[ ] на 5
[x] на 9
[ ] на 10

Несложно заметить, что последняя цифра не четная, 0 или 5, значит, 1-й, 3-й и 5-й вариант отпадают. Остается два варианта, для обоих достаточно посчитать сумму цифр. Она равна 36, что делится и на 3, и на 9. Так-то!


2. К каким числам относится \pi?
[ ] к натуральным
[ ] к целым
[ ] к рациональным
[x] к иррациональным
[ ] к алгебраическим
[x] к трансцендентным
[x] к вещественным

Пи относится к иррациональным числам (доказано И. Ламбертом в 1767), трансцендентным (Ф. Линдеман, 1882) и вещественным (по определению). Очевидно, что пи не является натуральным или целым, а по двум вышеупомянутым фактам не относится к рациональным или алгебраическим. Так-то!


3. Чему равен \log_{\sqrt 2}{\log_{4}{16}}?
( ) 0
( ) \frac 1 4
( ) \frac 1 2
( ) 1
(*) 2
( ) 4

Несложно посчитать, что \log_4{16} = 2, а \log_{\sqrt{2}}{2} = 2. Так-то!


4. Чему равен {\mathop{\rm arcctg}\nolimits} \sqrt 3?
( ) 0
(*) \frac{\pi}{6}
( ) \frac{\pi}{3}
( ) \frac{\pi}{2}
( ) \frac{2\pi}{3}
( ) \frac{5\pi}{6}
( ) \pi

В этой задаче главное заметить, что нужно вычислить арккотангенс, а не арктангенс. Представив единичную окружность, легко убедиться, что \frac{\cos x}{\sin x} = \sqrt{3} при \frac{\pi}{6}, когда \cos{x} = \frac{\sqrt{3}}{2}, а \sin{x} = \frac{1}{2}. Так-то!


5. Чему равно c\left(a + b\right)^3?
[x] a^3c + 3ab^2c + 3a^2bc + b^3c
[ ] a^2c + 2abc + b^2c
[ ] a^3c + ab^2c + a^2bc + b^3c
[ ] a^2c + 3ab^2c + 3a^2bc + b^2c
[x] a^3c + 3ab^2c + 3a^2bc + b^3c

В этой задаче достаточно раскрыть скобки по биному Ньютона (степень равна 3), домножить к каждому слагаемому c и пометить все такие выражения. Их два, совершенно одинаковых. Так-то!


6. Пусть 0 < m < n. Что больше, 1-\frac{m}{n} или \frac{n}{m}-1?
( ) 1-\frac{m}{n}
(*) \frac{n}{m}-1

Это задача из сборника задач Кордемского, Ахадова «Удивительный мир чисел». Приведя каждую часть неравенства к общему знаменателю, заметим, что числитель у них равный — n−m, а знаменатель меньше у второй дроби — m вместо n. Так-то!


7. Какой период имеет функция {\mathop{\rm tg}\nolimits} 5x^2?
( ) 2\pi
( ) \pi
( ) 5\pi
( ) \frac{\pi}{5}
( ) \sqrt{\frac{\pi}{5}}
( ) \sqrt{5\pi}
( ) \sqrt{\pi}
( ) \sqrt{2\pi}
(*) никакого

Если представить себе график функции y = {\mathop{\rm tg}\nolimits}x, а затем неравномерно сжать его вдоль Ox, трансформируя график y = x в параболу, станет очевидно, что никакого периода у этой функции нет. Так-то!


8. Банк каждый год начисляет 2% к текущему счету. Первоначальный вклад составил 1$. Сколько будет $ на счету через 1000 лет?
( ) 1 + 0.02 \cdot 1000
(*) 1.02^{1000}
( ) 1.02 \cdot \left( {1 + 0.02^{1000} } \right)
( ) 1 + 0.02 \cdot \log _2 1000
( ) 1.02 \cdot e^{1000}

Достаточно вспомнить сложные проценты или формулу для n-го члена геометрической прогрессии, и станет ясно, что ответ — 1.021000. Остальные варианты нарочно сделаны длиннее для диверсификации стратегии ответов на тестах выбирать самый длинный или сложный ответ. Так-то!


9. Чему равно произведение действительных корней полинома x^3-4x^2-2x+20?
[x]

( ) 1
( ) 4
(*) 2
( ) 20

Это по-настоящему подлая задача. Действительно, многие тут же вспоминают теорему Виета для случая кубических полиномов, и пишут, что произведение корней равно −20. Однако в условии сказано, что нужно найти произведение действительных корней. По основной теореме алгебры, помимо случая с тремя действительными корнями у кубического полинома с действительными коэффициентами, возможен случай когда действительный корень только один (в данном случае достаточно перебрать все предлагаемые отрицательные корни). Таким образом, ответ −2. Так-то!


10. Вычислите площадь фигуры, являющейся решением системы неравенств:
\left\{ \begin{array}{l} \left| {x + y} \right| > 5 \\ \left| {x - y} \right| < 7 \\ {xy} < 0 \ \end{array} \right.
( ) 0
( ) \frac{1}{2}
( ) 1
( ) 2
(*) 4
( ) 8
( ) \infty

Несложно заметить, что графиком |x−y| < 7 является «полоса» вокруг y = x, пересекающая краями оси в точках с ненулевой координатой 7, а графиком |x+y| > 5 является плоскость, из которой «вырезана» полоса вокруг y = −x, пересекающая краями оси в точках с ненулевой координатой 5. Изобразив это, и «отрезав» положительные квадранты, мы получим такую картинку:

Системе неравенств удовлетворяют 4 закрашенных треугольника, каждый из которых имеет площадь 1. Следовательно, ответ: 4. Так-то!


11. Некая арифметическая прогрессия является так же и геометрической. Известно, что некоторый (не первый) член этой прогрессии равен 1. Чему равен предыдущий?
( ) −1
( ) 0
( ) \frac{1}{2}
(*) 1
( ) 2
( ) такой прогрессии не существует

Некоторые почему-то считают, что прогрессией может быть только последовательность, где знаменатель или разность не являются нейтральными элементами группы. Я к ним не отношусь. Просто представим, что если знаменатель не равен 1, то расстояние от третьего до второго и от первого до второго члена будет неодинаково, и это будет не арифметическая прогрессия. Значит, знаменатель равен 1, разность 0, и все элементы прогрессии равны. Поскольку один из ее членов равен 1, то и все они, включая предыдущий, равны 1. Так-то!


12. В треугольнике ABC проведена медиана BD. Угол ABD — тупой. Какое из нижеприведенных утверждений верно?
( ) AD < DC
( ) AD > DC
(*) AD = DC
( ) ни один из предыдущих вариантов

Легко заметить, что такой треугольник построить можно:

Поскольку BD — медиана, и делит противолежащую сторону AC пополам, то AD = DC по определению медианы. Так-то!


13. Пусть a и b положительные числа. Что больше, \frac{a+b}{2ab} или \frac{1}{\sqrt{ab}}?
( ) первое
( ) второе
( ) одинаково
(*) нельзя сказать

Домножив на ab (что больше 0, так как a и b положительны), получим неравенство о средних для 0 (среднее геометрическое, справа) и 1 (среднее арифметическое, слева). Известно, что равенство в этом неравенстве соблюдается, только если a = b. Поскольку условие не накладывает такого (или противоположного ограничения), поставить знак строгого неравенства или равенства нельзя. Поэтому ответ: нельзя сказать. Так-то!


14. Геометрическое место точек на плоскости, равноудаленных от заданной прямой и точки, не лежащей на ней, которые находятся на той же плоскости?
( ) точка
( ) окружность
( ) эллипс
(*) парабола
( ) гипербола
( ) зависит от взаимного расположения заданных точки и прямой

По определению параболы, такое ГМТ является параболой. Точка называется фокусом параболы, а прямая — директрисой. Так-то!


15. Пометьте флажками части выражения, входящие в ответ к уравнению \cos{3x} + 3\cos{x} = \frac{3\sqrt{3}}{2}.
( ) +
( )
(*) \pm

( ) 0
(*) \frac{\pi}{6}
( ) \frac{\pi}{3}
( ) \frac{\pi}{2}
( ) \frac{2 \pi}{3}
( ) \frac{5 \pi}{6}
( ) \pi

(*) + 2 \pi k
( ) + \pi k
( ) + \frac{\pi k}{3}
( ) + \frac{2 \pi k}{3}

( ) k \in \mathbb{N}
(*) k \in \mathbb{Z}
( ) k \in \mathbb{R}

Можно посчитать, вспомнив (или выведя) формулу косинуса тройного угла \cos{3x} = 4\cos{x}^3 - 3\cos{x}, а можно представить единичную окружность, и заметить, что слева есть 3\cos{x}, а справа 3\frac{\sqrt{3}}{2}, причем \cos{x} = \frac{\sqrt{3}}{2} в x = \frac{\pi}{6}, а \cos{3 \frac{\pi}{6}} = 0. Поскольку косинус — четная функция, знак ставится \pm; период, очевидно, 2πk с индексом периода в \mathbb{Z}. Так-то!

Tags: задачи
Subscribe

  • ML quiz

    Устный вопрос. clf = sklearn.ensemble.AdaBoostClassifier( base_estimator=sklearn.tree.DecisionTreeClassifier(), n_estimators= 50, learning_rate=…

  • Часы и комбинаторика

    Мои электронные часы показывают часы, минуты, секунды в 24-часовом формате, а также день и месяц. Час, день и месяц они показывают без ведущих нулей.…

  • Задача про колокола

    Часто встречаются задачи, в которых нужно найти закономерность, продолжить какой-нибудь ряд. Не буду отставать. Продолжите строку на этом или другом…

  • Post a new comment

    Error

    default userpic

    Your IP address will be recorded 

    When you submit the form an invisible reCAPTCHA check will be performed.
    You must follow the Privacy Policy and Google Terms of use.
  • 10 comments

  • ML quiz

    Устный вопрос. clf = sklearn.ensemble.AdaBoostClassifier( base_estimator=sklearn.tree.DecisionTreeClassifier(), n_estimators= 50, learning_rate=…

  • Часы и комбинаторика

    Мои электронные часы показывают часы, минуты, секунды в 24-часовом формате, а также день и месяц. Час, день и месяц они показывают без ведущих нулей.…

  • Задача про колокола

    Часто встречаются задачи, в которых нужно найти закономерность, продолжить какой-нибудь ряд. Не буду отставать. Продолжите строку на этом или другом…