sharpc (sharpc) wrote,
sharpc
sharpc

Categories:
  • Music:

Тест по математике: разбор, часть 2

Часть 2/2, часть 1/2 в http://sharpc.livejournal.com/25884.html


16. В бесконечномерном топологическом векторном пространстве над \mathbb{Z}_2 со счетным базисом Шаудера задана топология \left\| a \right\| = \sum\limits_{i = 1}^\infty {2^{-i} a_i}. Найдите мощность этого пространства.
( ) это множество конечно
( ) это множество счетно
(*) мощность континуума
( ) мощность гиперконтинуума
( ) ни один из вышеприведенных вариантов

В этой задаче не обязательно знать определение базиса Шаудера (система векторов ai топологического векторного пространства таких, что каждый элемент пространства однозначно представим в виде сходящегося ряда по ним — для этого и потребовалось ввести топологию). Таким образом, в задаче просто требуется найти мощность множества счетных последовательностей над \mathbb{Z}_2. Очевидно, что такое множество равномощно континууму (поскольку является просто двоичной записью элементов множества [0;1[). Так-то!


17. Вычислите \mathop{\lim}\limits_{x \to 0} \frac{{\ln \cos x}}{{x^2}}.
[x]

( ) 0
(*) \frac{1}{2}
( ) 1
( ) 2
( ) \infty

Достаточно использовать разложение в ряд Тейлора \ln{ \left( 1+x \right) } = x + O\left( x^2 \right) и \cos{x} = 1 - \frac{x^2}{2} + O\left( x^4 \right). Легко заметить, что искомый предел это просто числовой множитель перед вторым слагаемым в разложении косинуса, т.е. -\frac12. Так-то!


18. Какие из этих множеств плотны в \mathbb{R}?
\mathbb{A} — множество действительных корней полиномов с рациональными коэффициентами.
[ ] \mathbb{N}
[ ] \mathbb{Z}
[x] \mathbb{Q}
[x] \mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}
[x] \mathbb{A}
[x] \mathbb{R} \setminus \mathbb{A}
[x] \mathbb{R}

\mathbb{N} и \mathbb{Z} не являются плотными в \mathbb{R}, потому что существует интервал, в котором нет ни одного элемента этого множества, например [1/3; 2/3]. \mathbb{Q} плотно в \mathbb{R} (что, в частности, используется в аксиоматическом построении вещественных чисел через сечения Дедекинда), очевидно, \mathbb{R} плотно в себе, \mathbb{R} \setminus \mathbb{Q} плотно в \mathbb{R}, поскольку \mu \left( \mathbb{Q} \right) = 0, \mathbb{A} плотно в \mathbb{R}, потому что \mathbb{A} является надмножеством \mathbb{Q}, а \mathbb{R} \setminus \mathbb{A} плотно в \mathbb{R} потому что \mu \left( \mathbb{A} \right) = 0 (|\mathbb{Q}| = |\mathbb{A}| = \aleph_0)


19. Пусть липшицево отображение f : \mathbb{R} \to \mathbb{R} определено всюду на \mathbb{R}. Тогда оно...
[ ] биективно
[ ] инъективно
[ ] сюръективно
[x] непрерывно
[x] равномерно непрерывно
[ ] ограничено
[ ] монотонно
[ ] дифференцируемо
[x] имеет первообразную

Липшицевым отображением f : \mathbb{R} \to \mathbb{R} называется отображение, для которого \exists C > 0: \forall x, y \in \mathbb{R} \, \left| f\left( x \right) - f\left( y \right) \right| \le C \left| x - y \right|. Типичным примером липшицева отображения с C = 1 является |x|. Очевидно, что |x| не сюръективен — отрицательные числа не имеют прообраза, не инъективен — x и −x имеют равный образ, как следствие — не биективен. Очевидно, что он так же и не ограничен на всем \mathbb{R}, не монотоннен и не дифференцируем (в точке 0). Однако любое липшицево отображение равномерно непрерывно (\forall \epsilon \, \exists \delta = \frac{\epsilon}{C}), как следствие, непрерывна и имеет первообразную. Так-то!


20. Пусть f_n \left( x \right) =  \ldots \cos \sin \cos \sin x^2, где n - число применений функции косинуса или синуса, а F_n \left( x \right) — производная f_n \left( x \right). Вычислите значение предела \mathop{\lim}\limits_{n \to \infty} F_n \left( 0 \right)
{ 0 }

Легко заметить, что при последнем применении правила дифференцирования сложной функции к f_n\left( x \right) мы получим множитель 2x\cos{x^2}, что, очевидно, равно 0 для любого n в точке x = 0. Так-то!


21. Вычислите значение интеграла \int\limits_{ - \pi }^\pi {\sin^2 x dx}.
[ ]

[ ] 1/

(*) 1
( ) 2
( ) 3
( ) 4

( ) \ln \pi
( ) \sqrt \pi
(*) \pi
( ) \pi^2

[ ] + \frac{1}{2}
[ ] +1
[ ] + \sqrt 2
[ ] + \sqrt 3

Этот интеграл несложно взять по частям и получить -\frac12 \sin{x} \cos{x} + \frac12 x. При подставлении этой первообразной в формулу Ньютона-Лейбница получим \pi. Обратите внимание, что согласно правилам, изложенным в инструктаже, во второй группе не должен стоять флажок, а в третьей — должен быть отмечен числовой множитель 1. Так-то!


22. Что больше, \frac 2 3 или \frac 5 7?
( ) \frac 2 3
(*) \frac 5 7
( ) равно

Этот вопрос приведен в статьях Арнольда, как вопрос, на который не в состоянии ответить французские студенты. Надо полагать, что человеку с отечественным образованием несложно сообразить, что 5/7 > 2/3, хотя бы потому, что 5*3 (15) > 2 * 7 (14). Так-то!


23. Вычислите определитель матрицы
\begin{pmatrix}1 & 2 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 2 & 1 \\ 2 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 2\end{pmatrix}
{ 5 }

Этот несложный определитель можно посчитать, например, разложив его по первой строке и посчитав 4 получившихся определителя методом, который у нас назывался «6 диагоналей»: учитывая маленький размер множителей, это не должно составить труда. У меня, без подготовки, вместе с аккуратным выписыванием всех определителей и слагаемых на бумажке, ушло на это 1 минута 54 секунды, так что 5 минут должно было вполне хватить. Так-то!


24. Чему равна размерность ядра оператора дифференцирования в бесконечномерном пространстве полиномов?
( ) 0
(*) 1
( ) 2
( ) 3
( ) \pi
( ) \infty

Эта задача публиковалась ранее в моем ЖЖ и служила для быстрой проверки, помнит ли что-нибудь человек из курса линейной алгебры. Ядро оператора это множество, образ которого равен 0. Известно, что операция дифференцирования над множеством полиномов (бесконечномерным пространством, вообще говоря) является линейным оператором, поэтому к ней вполне применимо понятие ядра. Дифференцирование переводит в 0 константы, т.е. подпространство полиномов размерности 1. Так-то!


25. Векторное произведение векторов определено в пространствах с размерностью ...
[ ] 1
[ ] 2
[x] 3
[ ] 4
[ ] 5

В аксиоматическом определении векторного произведения фигурирует такое понятие, как правая тройка векторов. Оно определено только в трехмерном пространстве. В работе Z.K. Silagadze "Multi-dimensional vector product" доказано, что математический объект со свойствами, удовлетворяющими аксиомам векторного произведения, может существовать только в линейных пространствах с размерностью 3 и 7. Однако 7 отсутствует в вариантах ответов. Так-то!


26. Найдите координаты вектора, перпендикулярного вектору (1;2;3) и лежащего в плоскости 2x+3y+4z=0
Ответ запишите в форме (555;666;777).
{ (1;-2;1) }

Требуется найти вектор (x;y;z), ортогональный (имеющий скалярное произведение 0) к (1;2;3) и удовлетворяющий уравнению 2x+3y+4z=0 (ортогональный (2;3;4)). Решить эту однородную СЛАУ из 2 уравнений с 3 неизвестными с максимальным коэффициентом 4 несложно (например, можно вычесть удвоенное первое уравнение из второго). При этом получится линейное подпространство V c dim V = 1 и базисом (1;-2;1). Проверочная система корректно проверяет любой целочисленный вектор из этого подпространства с небольшими числами. Так-то!


27. Чему равно главное значение i^i?
Первым
флажком обозначьте знак ответа, во второй группе выберите основание степени, в группах 3-5 показатель степени.

[ ]

( ) 2
(*) e
( ) \pi

[x]

(*) \frac{1}{2}
( ) 1
( ) 2

( ) e
( ) e^2
(*) \pi
( ) \pi^2

За эту задачку спасибо Борату (ИВМ РАН). i^i = e^{i \ln{i}} = e^{i \phi}, где \phi = \ln{i}. e^\phi = i, тригонометрическая форма i — (1; \frac{\pi}{2}) (берем именно \frac{\pi}{2} для получения главного значения), т.е. \phi = i \frac{\pi}{2}. Значит, i^i = e^{i i \frac{\pi}{2}} = e^{-\frac{\pi}{2}}. Так-то!


28. Функция f : \mathbb{R} \to \mathbb{R} определена всюду на \mathbb{R} и имеет первообразную. Значит, она непременно:
[ ] биективна
[ ] инъективна
[ ] сюръективна
[ ] непрерывна
[ ] равномерно непрерывна
[ ] ограничена
[ ] монотонна
[ ] дифференцируема
[ ] не имеет точек разрыва 1-го рода
[ ] не имеет точек разрыва 2-го рода

Контрпримером к биективности, инъективности, сюръективности, ограниченности, монотонности и дифференцируемости можно взять |x| из задачи 19 про липшицево отображение. Чуть ранее здесь стоял примерно такой текст: «Ох, как же мне надоело придумывать контрпримеры, поэтому вы должны мне поверить, что такие есть. Так-то!». Функция, имеющая точку разрыва 2-го рода и первообразную, описана в книге Гелбаума, Олмстеда «контрпримеры в анализе», пункт 3.2 (f\left( x \right) = 2x \sin \frac1x - \cos \frac1x, x \ne 0; 0, x = 0) — это же контрпример к непрерывности и равномерной непрерывности. Контрпример с точкой разрыва 1-го рода: f\left( x \right) = 0, x \in ]-\infty; 0[; 1, x \in [0; +\infty[; первообразная равна F\left( x \right) = 0, x \in ]-\infty; 0[; x, x \in [0; +\infty[. Тогда F' = f во всех точках \mathbb{R}, кроме их конечного числа (точки x = 0).


29. \int\limits_{-1}^1 {\frac{\cos x^2}{x^2}dx}
( ) сходится абсолютно
( ) сходится условно
(*) не сходится
( ) этого науке не известно

Очевидно, что этот несобственный интеграл (подинтегральная функция не определена в 0) не сходится, поскольку \cos{x^2} можно минорировать 1/2, и полученное расходится по признаку сравнения, т.к. степень знаменателя больше 1. Так-то!


30. Какие из этих множеств алгебраически замкнуты?
\mathbb{A} — множество действительных корней полиномов с рациональными коэффициентами.
[ ] \mathbb{N}
[ ] \mathbb{Z}
[ ] \mathbb{Q}
[ ] \mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}
[ ] \mathbb{A}
[ ] \mathbb{R} \setminus \mathbb{A}
[ ] \mathbb{R}
[x] \mathbb{C}

В этом тесте была неточность, вызванная тем, что здесь, как в отечественной литературе алгебраическими числами считается только \mathbb{R} \cap \mathbb{A} (\mathbb{A} алгебраически замкнуто, \mathbb{R} \cap \mathbb{A} — нет). Позже это уточнение было добавлено в текст вопроса. Приносим извинения за неудобства. Из всех перечисленных алгебраически замкнутым является только \mathbb{C}, для остальных множеств контрпримерами служат полиномы x2+x+1 и πx2+πx+π. Так-то!


31. Чему равно число ненулевых слагаемых в разложении градиента функции x^2+1 в точке x=1 по ортам?
{ 1 }

В данном случае функция возрастает в точке x = 1. Поскольку это функция от одного аргумента, ее градиент одномерен и не равен нулю, следовательно, ответ 1. Так-то!


32. Чему равен модуль диагональных элементов в комплексной жордановой форме матрицы оператора вращения в \mathbb{U}^2?
{ 1 }

Описанная жорданова форма имеет диагональный вид с комплексными числами, имеющими тригонометрическую форму (1;\phi) и (1;−\phi). Так что их модуль равен 1. Так-то!


33. Чему равен коэффициент при \lambda^2 в характеристическом многочлене оператора, заданного матрицей
\begin{pmatrix}1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 10\end{pmatrix}
{ 16 }

Очевидно, что в выражении для определителя \det{ \left( A - \lambda I \right) } коэффициент перед \lambda^2 будет равен сумме диагональных элементов {\mathop{\rm tr}\nolimits} A = 16. Так-то!


34. Квадратичная форма -x^2 - 2y^2 + z^2 + 2xy + 2xz является ...
( ) знакоположительной
( ) знакоотрицательной
(*) знакопеременной

Достаточно использовать критерий Сильвестра для матрицы этой квадратичной формы. Соответствующие определители равны −1, 1, 3, т.е. знакочередование не осуществляется. Значит, форма знакопеременная. Кроме того, можно просто удачно подставить некоторые числа и убедиться, что в зависимости от аргументов форма принимает как положительные (0;0;1), так и отрицательные (1;2;0) значения. Так-то!


35. В евклидовых пространствах с какой конечной размерностью существуют вектора, манхэттенская норма которых меньше, либо равна евклидовой?
[x] 1
[x] 2
[x] 3
[x] 4
[x] 5
[x] >5

Задача могла бы быть интереснее, если бы я не забыл добавить «ненулевые вектора». Очевидно, что любой вектор, параллельный орту, имеет манхэттенову норму, равную евклидовой. Так-то!


36. Найдите спектральную норму оператора, заданного матрицей
\begin{pmatrix}5 & 0 & 0 \\ 0 & 8 \cos \sqrt{3} & -8 \sin \sqrt{3} \\ 0 & 7 \sin \sqrt{3} & 7 \cos \sqrt{3}\end{pmatrix}
{ 8 }

Спектральная норма это супремум норм образов единичных векторов. Данный оператор это просто оператор вращения в Oyz и масштабирования в 5,8,7 раз по соответствующим осям. Очевидно, наибольшую норму единичный вектор получит, если вращение переведет его в (0;1;0), а масштабирование в (0;8;0). Таким образом, ответ — 8. Так-то!



Хм, что-то я забыл сказать... Ах, да! Матмех — рулит. Мехмат — говноэто знают даже малые дети :)
Tags: задачи
Subscribe

  • Инфраструктура Python

    В ноябре 2017 я начал собирать в виде IPython Notebook сниппеты работы с разными полезными для исследовательского программирования библиотеками…

  • Теормин по STL для СП, часть 2/2

    Это продолжение части 1. <algorithm>В STL реализованы некоторые простые и часто используемые обобщенные алгоритмы. Обобщенные они потому,…

  • Теормин по STL для СП, часть 1/2

    Это теоретический минимум по STL для занимающихся спортивным программированием, подмножество возможностей стандартной библиотеки C++, полезных для…

  • Post a new comment

    Error

    default userpic

    Your IP address will be recorded 

    When you submit the form an invisible reCAPTCHA check will be performed.
    You must follow the Privacy Policy and Google Terms of use.
  • 18 comments

  • Инфраструктура Python

    В ноябре 2017 я начал собирать в виде IPython Notebook сниппеты работы с разными полезными для исследовательского программирования библиотеками…

  • Теормин по STL для СП, часть 2/2

    Это продолжение части 1. <algorithm>В STL реализованы некоторые простые и часто используемые обобщенные алгоритмы. Обобщенные они потому,…

  • Теормин по STL для СП, часть 1/2

    Это теоретический минимум по STL для занимающихся спортивным программированием, подмножество возможностей стандартной библиотеки C++, полезных для…